连通性是保证多元函数具有介值性质的关键因素，而非紧致性。路径连通性是连通性的一种具体表现形式，路径连通的集合上的连续函数一定具有介值性质，开区域和闭区域作为特殊的连通集，其上的连续函数也具有介值性质。
对于一元函数，在闭区间上连续的函数具有有界性、取得最大值和最小值、一致连续性以及介值性质。当推广到多元函数时，在紧致集（有界闭集）上的多元函数具有有界性、取得最大值和最小值和一致连续性，但不一定具有介值性质。
函数$f$在集合$D$上连续，能保证$f$具有介值性质的，不是$D$的紧致性，而是$D$的连通性，即集合$D$必须“连成一片”。例如开区间$J=(a,b)$是“连成一片”的，在$J$上的函数介值定理成立；而有界闭集$K = [-2,-1]cup[1,2]$，定义在$K$上的函数$f(x) = begin{cases}-1, & x in [-2, -1] 1, & x in [1,2] end{cases}$在$K$上连续，但不具有介值性质，这是因为$K$不具有连通性。
路径定义：设$E subseteq mathbb{R}^n$，$bold x_0, bold x_1 in E$，并设$gamma:[0,1] rightarrow E$是一个连续映射，满足条件$gamma(0)=bold x_0, gamma(1)= bold x_1$，则称$gamma$为$E$中联结$bold x_0$和$bold x_1$的一条路径。“路径”的直观几何形象就是联结给定两点的一条连续曲线。
路径连通定义：设$E subseteq mathbb{R}^n$，如果对任何$bold x_0, bold x_1 in E$，都至少存在$E$中联结这两点的一条路径，那么就说$E$是路径连通的。空集$varnothing$也被认为是路径连通的。
定理：设$E$是$mathbb{R}^n$中的路径连通子集，函数$f$在$E$上连续，则$f$具有介值性质。
证明：设$A_0$和$A_1$是$f$的任意两个值，不妨设$bold x_0 in E, f(bold x_0)=A_0$，$bold x_1in E,f(bold x_1)=A_1$。由于集合$E$的路径连通性，存在连续映射$gamma:[0,1] rightarrow E$使得$gamma(0)=bold x_0, gamma(1)= bold x_1$。考察复合映射$varphi(t)=f(gamma(t)), tin[0,1]$，这是一个在$[0,1]$上的连续函数，并且$varphi (0)=A_0, varphi(1)=A_1$。于是$varphi$取得介于$A_0$和$A_1$之间的任何值。因此，函数$f$在点集$gamma([0,1])={gamma(t)| t in [0,1]}$之上可以取得介于$A_0$和$A_1$之间的任何值。
定义：把$mathbb{R}^n$中的连通开集$D$称为开区域，并把连通开集$D$的闭包$overline{D}$称为闭区域。
定理：在开区域或闭区域上连续的函数具有介值性质。
证明：略。
