混沌理论和分形理论有什么关系？

谢邀。

好问题。总体上讲，二者在产生时并无关系，只不过混沌系统具有分形的特性，也就是说分形方法能够拿来分析混沌系统，造成二者看起来有很大的交集，二者从哲学上看研究了随机性和确定性的关系，具体见后面加粗的文字及其解释。

看二者的关系先要从二者的各自发展历史来看，混沌更多是从物理系统研究中发展来的，如庞加莱的三体问题，洛伦兹的天气模型等；分形更多是数学，特别是几何研究中总结出来的，例如分形之父曼德波特 提出的海岸线的维数问题，各种奇妙的分形图案，也是总结了很多前人的成果。

混沌的一些公认的特性，如初值敏感性（俗称“蝴蝶效应”）和奇异吸引子，实际上是确定性的非线性系统中出现的一种貌似随机的现象，正如洛伦兹的那篇“确定性非周期流”所引起的轰动一样，混沌的奇妙之处在于把确定性和随机性这两个以前不相关的东西给统一了。混沌有很多方法可以研究，分形是奇异吸引子的研究当中最重要的一类方法，其他常用的还有李亚普诺夫指数（主要侧重于描述初值敏感性）、功率谱、相图、庞加莱截面、斯梅尔马蹄、分岔图等等。

分形的核心是自相似，对于现实世界的很多貌似无规则的复杂现象，特别是在时间和空间上存在无穷迭代、控制和反馈机制的一些人工或自然的非线性系统，具有很强的描述能力，这其中包含了混沌现象。但也可以拿来分析非混沌系统，金融时间序列、心电图、脑电波、粗糙表面、地质分布等的分析有很多成功的应用。常说的“幂律”，“无标度性（标度无关特性）”，“长程相关性” 等等都与分形紧密相关。像曼德波特的“集合、机遇和维数”中描述的那样，分形的奇妙之处在于以往看似无规则、碎片状的东西，其实也是有确定性规律的。

至于二者为什么紧密相关，因为它们研究的系统都是现实的非线性系统，呈现貌似随机的特征，相轨道周期反复却永不重叠，混沌更侧重物理，分形更侧重数学，物理上的反馈正可以用数学上的迭代来描述。

总结一下，无论是从混沌的初值敏感性和分形的无规则性现象的发现，还是到混沌的李雅普诺夫稳定性和分形中的固有分形维数规律的研究，它们都是站在整体论角度而不是还原论角度，来研究系统在时间和空间上的演化规律，可谓殊途同归。