各位想要看完“作用量”系列的连载文章，不接触一点微积分知识怕是不行。我把之前零零碎碎写过的一些微积分的东西在此汇总，并配合“作用量”系列文章的要求进行了内容扩充。请你放一百个心，为了能让你有信心看下去，零门槛入坑肯定是标配啦。
其实你完全可以摘下有色眼镜去看待微积分，因为它真的不像你想象中的那么难！恰恰相反，微积分的思想及其朴素！如果你现在已经是一位中学生，我相信你看完这篇文章就能很好理解微积分。
准备好了吗？正文开始啦！
要说微积分的思想会在哪儿冒泡，高中物理云淡风轻地表示它俩算是老相识了。因为你在高中物理里面会面临很多非均匀的过程，虽然不会让你拿出公式吭哧吭哧计算出定量结果，但是你肯定没少受到微积分思想的熏陶。来来来，带你来一波回忆杀。
你在初中的时候只需解决一些均匀过程的问题，比如物体匀速直线运动、物体被恒力拉动了一段距离、电路中的电流是定值等。那么你在计算速度时，对于不会有啥疑惑；计算力做的功时，对于也没啥异议。
可是当物体不再做匀速直线运动，或者作用在物体上的力不再是恒力时，直接用上面这些等式就有问题了。不信的话，你来看看龟兔赛跑的寓言故事——由于兔子轻敌，在中途睡觉而输了比赛。
对于这个寓言故事，我们可以得到一个结论——乌龟比兔子跑得快。你不是已经定义了速度为么？兔子和乌龟在比赛中的位移一样，但是兔子用时更长，算出来的结果自然就小嘛。
兔子这回可就不服气了，你才跑得慢，你全家都跑得慢！显然这个结论与我们的常识不吻合呀，都说兔子如离弦之箭，乌龟哪跑得过兔子呢？
兔子不服气的关键就在于它不是匀速跑动而是跑跑停停！兔子跑起来的时候肯定快啦，可你用兔子所跑的总位移除以总时间就无法反应出它的真实水平！
怎么办？很简单，咱们就把运动过程切段，刨去兔子不跑的过程，只看兔子跑的时候有多快不就行了么？！当然了，考虑到故事里的兔子轻敌尿性，它跑的时候很有可能也没有正儿八经的全力以赴（非匀速运动），所以为了更精确地确定兔子的速度，就应该把它的运动过程继续切段，切得越细越好！
咱们把切段后的一小段路程记为，对应的一小段时间记为。计算速度的方法依然没有变化，即。显然切段越小，计算出的结果越能反映兔子的真实水平。
用数学的话说就是取得越小（无穷小），比值越能精确反映出该段过程的运动快慢。看到这里应该毫不费力吧？而这其实就是微分的思想了。
我们再来看另一个问题，这里有一堆相同的苹果，如果告诉你苹果的单价，如何求出苹果的总价？
小学生都能搞定的问题——苹果的单价乘以苹果的数量嘛。
那如果现在把部分苹果换成其他水果，比如说有一堆苹果、一堆梨和一堆橘子，每样水果的单价也知道，怎么算其总价？
稍微麻烦一点，先把这堆水果分类，再分别算出每种水果的总价，最后把各类水果的总价相加就得到了整堆水果的总价。你对这个想法应该已经习以为常了吧？
好啦，最后来点变态的问题——假设现有一个水果发生了超级变异：这个水果长出来后，里面即有苹果的成分又有梨子的成分还有橘子的成分（哈哈哈，想法变态吧）！而且这些成分还是你中有我、我中有你地相互交织在一起！抛开物以稀为贵的因素，依然告诉你苹果、梨子、橘子的单价，要你计算这个“奇异”果的总价！
这需要什么生平绝学吗？不需要，小学生也能算。怎么做呀，依然是切段！只不过这一步要很费精力——把苹果的成分、梨子的成分、橘子的成分一一归类，然后分别算出每种成分的总价，最后把各个成分的总价相加就是这个“奇异”果的总价！
你瞧，这和上面的做法是不是如出一辙？小学生都能办到！不过由于几种成分相互交织，所以切段要很细才行！如此算出来的价格才和真实价格相差非常的小！
用数学的话说，就是两者的差为无穷小！于是就可以认为我们算出了真实的价格。这种小学生都能理解的做法便是积分的思想。
说点题外话，这里分开介绍了微分和积分的思想，可为啥现在的术语统称为微积分呢？
因为伟大的牛顿和莱布尼茨发现，微分运算和积分运算居然是互逆运算，类似于加法和减法的关系！然后以他俩名字命名的牛顿-莱布尼茨公式便把微分计算和积分计算紧密团结在了一起，后文有详细介绍哟。
回到这两个例子里面来，无论是微分的思想还是积分的思想，都涉及到一个词——无穷小。它简直就像一个幽灵！凭直觉认为无穷小接近于零；凭直觉，上面的微分求解和积分求解也是合情合理，完全可以实用化。
但是数学的严谨特点决不会让这个幽灵存在。这在数学发展史上有着浓墨重彩的一笔，它引发了第二次数学危机。
我们通过两个简单运算来看看。 假设有两个数，分别用和表示，其中，。显然，当取得足够大时，和就会足够的小，也就是我们说的无穷小，且接近于0。现在我们用去除以，由于分母不能为0，虽然它现在无穷小，但是我们不能把它认为等于0，除法运算才能进行下去。通过化简，可以得到结果：
这个例子说明微分不仅可以计算，而且其结果还可以是个我们常见的值。
再来看看积分运算的例子。假设某个物体的运动速度（单位：m/s）与运动时间t的关系为，现在想计算~内物体走过的路程。
显然，物体的速度是在变化的。时物体的速度为，但是我们不能用去乘以时间来算路程。于是我们只能把的时间切成很多段，那么每一小段里的速度变化就很小了，这样才可以近似的用乘以来表示第个切段里的路程。
理清了思路，就来开始数学计算（别担心看不懂，高一数学的水平）啦。把~的时间切成段，于是每一小段的时间都是秒。那么在第一个秒内，速度近似为m/s，则经过的路程为。
在第二个秒内，速度近似为m/s，则经过的路程为。以此类推，在最后一个秒内，速度近似为m/s（也就是），则经过的路程为。
接下来把每个小段的路程相加就可以了，我们看看能得到什么。记总路程为，则有
经过简单的整理就能得到
括号里的这一长串求和就是基本的等差数列求和，把求和公式带入后可得
约分化简后可得。
由于切段的时候要求足够大，所以肯定足够小到无限接近于。那么我们把这个尾巴丢掉，会很自然地说的值无限接近。这个例子说明积分也是可以计算的，其结果也是常见的值。
相信你看完这上述两个例子的数学过程并不费劲，但是会有点懵——你把我无穷小当什么了？想要就要，想丢就丢？那什么时候要而什么时候丢呢？如果这样，数学岂不是变成玄学了？
这就是前面说的无穷小这个幽灵引发的第二次数学危机！要想解决这个危机，该轮到极限上场啦。
要解决第二次数学危机，就得弄清楚无穷小到底是个啥。无穷小确实无限接近但又不等于，只是说它有一个极限位置为。如此看来，准确理解极限是弄清无穷小的关键。
看到这句话，你的脑海里可能浮现出这样一副场景：一个人从一个点不断朝向点移动，直到越来越接近点。也就是说咱们这里想到的极限是一种动态过程：由远及近地逼近某个位置，这个位置便是咱们理解的极限。
很遗憾，这样理解极限是不正确的！你想想，我让你从倒数到，由于~之间有无数个数，你数得完吗？既然数不完，那就意味着你永远没法越来越接近于。这可不是愚公移山，此乃真的是子子孙孙无穷尽也！如果你这样理解极限就会中了著名的芝诺悖论的魔咒！
为了赶走幽灵般的无穷小，几代数学家做了艰辛的尝试，最终由柯西给出了极限的严格定义：当一个变量相继的值无限地趋近某个固定值的时候，如果它同这个固定值之间的差可以随意地小，那么这个固定值就被称为它的极限。
咋一看去，柯西对极限的理解好像也是一种动态过程，你看他不也用了“无限趋近”这样的词嘛？但是请注意，他并没有用“无限趋近”作为极限的评判标准，而是另外制定了新标准：如果它同这个固定值之间的差可以随意的小，那么它就是极限。
评判标准的变化所带来的认知转变可谓是天翻地覆：以前你要证明自己的极限是，你就得不停地变小，不停地朝这个地方跑去。但是你和之间永远隔着无数个点，所以你永远也跑不完，也就永远无法接近。如此，你敢厚颜无耻地说是你的极限嘛？
如今主角轮到变量自己，我才不管你随意小的数啥时候上场。反正只要你说出一个很小的数，我和之间的差值都比你小，这样我就敢拍着胸脯说我的极限就是。你若想拿无穷小来考验我，你是不是首先得说出无穷小是多少才行呀？你若说不出来一个具体的数，我凭啥让你考验呢？
所以极限在柯西这里是一个“静态”现象，你想确认一下我和极限值的差距，那你就拿一个能说得出的、很小的数来和这个差距进行比较！
如此一来，不仅避开了说不清道不白的无穷小，还反过来让无穷小失去了神秘面纱——它不过是一个极限为的量，一个只要你说出一个数，咱们就能找到另一个数，使得它和之间的差距比这个数小的量。
再往后，魏尔斯特拉斯便在柯西的基础上给出如今在数学教材里所写的极限定义，又称为~极限定义。希望这里说出的专业术语没有吓到你，只要柯西的极限定义在你脑海里深深扎根了，这个~极限定义就非常容易理解啦。
对于一个函数来说，其自变量取不同值时其函数值会发生相应的变化。如果自变量无限趋近于时，对应的函数值会无限趋近于某个固定值，这个固定值便是函数在处的极限。
现在只需按照柯西给出的标准来衡量上面所说的无限趋近，那么就是对于任意给出的一个数，存在，使得凡是满足，都有。
不要觉得这段文字绕口，你仔细看看这两个不等式，是不是体现出了与的差可以任意小、与的差任意小？于是咱们就说函数在处有极限，记作。
到此，咱们对于极限便有了清晰地认识，微积分也就有了稳固的根基！
现在重看微分的话，那就是当趋于时，的值与某个确定的值相差得任意小。所以微分其实就是一个极限！
重看积分的话，当我们算出来的位移与某个确定的值相差得无限小，那么这个就是全段位移的极限。所以积分其实也是一个极限！
好啦，是时候拿起极限这个工具来面对微积分啦。
说到微分就必须先提到导数。无论是某些物理量的定义——比如速度、加速度等，还是几何中为了衡量图线的倾斜程度，最终殊途同归到一个词——变化率，也就是一个量的变化值比上另一个量的变化值。
以形象直观的图形来说，要反映图中倾斜直线的倾斜程度，显然是图中的角度（到范围内）越大，直线就越陡峭。而角度的大小可以由其正切值来反映，此值被称为直线的斜率。
从图中可以发现，对于直线来说，无论哪一段的倾斜程度都是一样的。这很好理解，如同物体始终做匀速直线运动，无论用哪一段的位移除以对应的时间，求出来的速度都是一样的。
但是相比直线，曲线更常见；对于运动来说，变速运动也更常见。如此一来，曲线上不同部位的倾斜程度就不一样了。所以我们就会更关心曲线上每处的倾斜情况如何。
那么问题就来了，过曲线上一点可以画出无数条直线，哪条直线的斜率才是反映该处的倾斜程度呢？
从直线斜率的计算可以看到，要出现和，需要在直线上取两个点才行。所以同样的做法在曲线上来一遍即可，由此得到的直线称为割线。
但割线的斜率并不是我们需要的，因为取不同的点就会得到不同的割线，难不成曲线在点处的斜率会如此调皮？
所以，既要利用点，又要使得计算结果为曲线在点处的斜率，只能让点无限靠近点，使其两者相差无穷小！现在你再看见无穷小时是不是只会嘴角一撇，云淡风轻地说：“这不就是极限嘛？！”
这么一来，我们就发现割线变成了曲线在点处的切线，而曲线在点处的斜率就由该切线的斜率来反映。此时，切线的斜率就得写成。
由于曲线都有对应的函数来表示，而数学里又习惯把函数写成，所以有
于是切线的斜率被写成如下的形式，并获得了一个新名字——函数的导数，记为：
别怕哈，这一坨表达式看起来好吓人，其实很简单——函数的导数就是该函数曲线在某点处的切线斜率，只要你知道啥是斜率，看懂这个表达式肯定不在话下。
不过咱要啰嗦几句，记作非常简洁，但是容易忘记是对自变量求导数。所以为了强调是对求导，就弄了另外一个符号：
前面的这一块东西作用在其身上就表示对求导。有时候为了书写方便，就写成
请注意，不是与相除哟！捋清这一点至关重要，不然你往后看的时候肯定会糊。
有了导数的概念，咱们就能根据其定义得到几个重要的结论。这些结论在数学教材里都有严格的证明（都很简单明了），大伙自己去看书也挺香的。悦理君就当给大家留个练习哈。
常数的导数为零，记为
两个函数相加减的结果，其导数等于每个函数的导数相加减，即
两个函数相乘的结果，其导数为：
这个结果记起来稍微要费点脑子：你可以想象自己一个人带着两个娃，现在得给娃脱衣睡觉，你是不是得挨个来？先给第一个娃脱衣服，让第二个娃一边呆着（）；然后是第一个娃一边玩去，给第二个娃脱衣服（）。两个娃的衣服都脱完了才算完事，即。
至于两个函数相除的导数就不写了，后面的物理问题里暂时用不上。毕竟这个系列的文章主角是物理，数学工具够用就行。
另外，还有一个重要的结论就是复合函数的导数。复合函数你可以想象成是套娃，函数的变量只是个中间角色，它是自变量的函数，即。所以函数应该写成，自变量为。
那么求的导数是指函数对自变量求导数，其结果为详细严格的证明过程请自行阅读数学教材。
这个结论的识记也好理解，相当于你的娃现在穿了两件衣服，你是不是得一件一件的脱？而且是先脱外层的衣服，再脱里面的衣服，两件都脱完了才算完事，即。
此乃大名鼎鼎的复合函数求导的链式法则，后续的物理文章中会多次用到哟。
导数说完了就可以说微分了。还是看图中过点的切线，其与竖直虚线相交于点。其中段的距离可以表示为 这里的系数是一个不为零的常数。原因很简单，假设这条切线与轴的夹角为（图中没有画出），那么根据三角函数的关系便有 即常数的值等于。
由于本身就是无穷小了，即也是无穷小，那么与的差会更小，咱们将这个差值称为的高阶无穷小，给个记号就是（就是一个记号而已，懒得写太多文字）。你可以把高阶无穷小想象成是无穷小的儿子，既然老子都是小不点，儿子就更不用谈了。
也就是说、两处函数值的差可以看成两部分相加：一段是，另一段是的高阶无穷小，写成等式则为
显然段的主体部分，于是咱们便把称为函数在处的微分，记为，即
你想知道常数是多少吗？很简单，、两处函数值的差为 将其带入到上面所写的的表达式里，则有 只需把等式两边同时除以，你会发现有结果 但是常数依旧没有求出来。不着急，再令，将等式两边求极限，则有 因为
这回你应该发现常数等于谁了吧？ 不就是刚刚定义的函数的导数么？于是咱们发现函数在处的微分居然就是 想不到导数和微分竟然还有如此关系......
由于自变量对自身的导数等于，也就是，所以 这么一来，函数在处的微分就可以表示为 或者记为 这和刚才导数的符号不同，这里是指函数的微分与自变量的微分的比值，也称为微商。
说到导数与微商的区别，这里还有点故事可以说道说道呢。微分和微商都是莱布尼兹提出来，微分顾名思义就是指微小的增量，也即无穷小量；而微商显然就是两个微分的比值。在这样一种认知下，导数依旧是切线的斜率，但是切线怎么来？
还是参考下图，当、两点挨得无穷近时，割线就变成了过点的切线。此时、两点对应的自变量差值为无穷小，即微分；而、两点对于的函数值的差也为无穷小，即微分。所以过点的切线斜率便是微商，也就是导数。
也就是说在莱布尼兹时代，是先定义了微分才有了导数，但是它俩都是站在如幽灵般的无穷小的肩上。显然这很不数学，得改！
待到极限被清楚认识之后，咱们才有了用极限的方法去定义导数！而微分的概念也不再是莱布尼兹所说的微小增量，它是一个函数！是变化量的函数！
你看嘛，自变量的变化量为，而自变量的微分为 所以是变化量的函数。
而函数的微分为 显然也是变化量的函数。
不仅如此，微分还是一个线性函数！因为无论是还是，它们与的关系都是简单的正比例函数关系，这被称为线性关系。
你发现没，在有了极限这个正规工具后，咱们是先定义了导数再定义了微分！并且由于微分是变化量的线性函数，才有了函数的导数等于函数的微分与自变量的微分所算的微商。
看到这里，你是不是觉得微分理解起来也不难呀？学习一个新东西本就应该理顺它的来龙去脉、辨清它与其他东西的区别与联系，搞定了这些再拿去应用就会得心应手。你继续往后看就会发现这种学习方式被悦理君体现得淋漓尽致。
搞清了导数和微分的关系，前面介绍的求导基本法则便可摇身一变成为求微分的基本法则，即有： 和
至于复合函数的微分还隐含着一个有趣的现象呢！咱们把复合函数记为，它由函数与函数复合而来。按照复合函数的求导法则，复合函数的微分为
而函数的微分即为 将其带入到复合函数的微分里便有结果 你会发现对于函数来说，不管是独立变量还是中间变量，微分形式都有 这个有趣的特点被称为一阶（只求一次微分）微分形式的不变性。
前面带你叩开导数和微分的大门时，我用的都是只含一个自变量的一元函数。不过更一般的情形里，函数所含有的自变量往往不止一个，这样的函数被称为多元函数。它们的微分会不会有啥不同呢？老规矩，依旧先从导数说起。
咱们就拿最简单的多元函数——二元函数来说，即函数含有和共两个自变量，记为 二元函数的导数定义完全类似一元函数，不过区别就在于函数的变化可以由两个自变量中的任意一个变化所引起。
如果咱们固定变量的取值，只让变量发生变动，由此导致函数发生的变化称为函数（关于）的偏增量，记作 偏心嘛，只管不管，照抄前面的导数定义，咱们就把 称为函数关于的偏导数，记为
我想你应该清楚地知道符号是整体作用在身上，并不是与的比值。所以在你头脑清醒的时候，咱们很乐意把偏导数写成 的样式。
同理，如果咱们固定变量的取值，只让变量发生变动，由此导致函数发生的变化称为函数（关于）的偏增量，记作 然后就把 称为函数关于的偏导数，记为
与微分类似，既然提及了偏导数就会有所谓的偏微分，咱们把函数对自变量的偏微分记为，则偏微分与偏导数的关系即为
想必你应该可以立刻写出函数对另一自变量的偏微分与对应偏导数的关系了，即为
再次申明一下，这篇文章是为后续的物理内容服务的，所以得出有些数学结论时明显具有物理思维的痕迹，比如上面就是用到了类比的方法。至于结果的严谨性就让数学去擦屁股呗，反正它就是干这活的。
继续说多元函数的微分。你可能会觉得多元函数是不是只有偏微分呢？类比一元函数的微分，偏微分总觉得好像没那么神似。没错，多元函数除了有偏微分还有全微分一说，它与多元函数的全增量颇有联系。啥？怎么又弄出个全增量？
前面不是已经说过了嘛，多元函数的任何一个变量单独变化时都会导致函数值发生变化，假若现在让每个自变量都有变化，则导致函数值所产生的变化就称为函数的全增量。
即函数的自变量与分别变化成与，把函数的全增量记为，则有 咋样，全增量好理解吧？
在全增量的前提下，类比一元函数的增量与微分的关系，咱们自然会想到多元函数的全增量是否也能写成与和有关的线性主体外加和的高阶无穷小呢？
答案是肯定的，即全增量可以写成
写法完全与一元函数的增量一样，只是多了一个变量多添一副碗筷而已嘛！不过为了使得增量写得更紧凑，咱们会将其写成 至于具体原因以及全增量能写成这种形式的条件，请你移步微积分教材自行寻找答案。
于是咱们就把全增量的线性主体部分 称为函数的全微分，记作。同样类似于一元函数的微分与导数的关系，多元函数的全微分与偏导数的关系即为 这便是你想要的与一元函数的微分完全对得上的结论。
说完了微分说就该来说一说积分。积分起源于对封闭图形的面积计算，你肯定能很快写出矩形、三角形或者梯形的面积计算公式，但是面对一般的封闭图形时就无能为力了。
不过没关系，前面介绍的积分思想就是来干这活的——咱可以用那些规则图形的面积来逼近这个不规则图形的面积。
这就好比铺地砖一样，总能用规则的地砖近似地铺满一块区域，至于边边角角可以用更小的规则地砖将其覆盖，直到最后看不出什么缝隙。
这种朴素的思想该如何用数学语言来描述呢？
假设有一条函数曲线，在变量取值于的范围内与坐标轴围成了一个曲边梯形。当我们要计算这个图形的面积时，先把区间分割成个小区间，让每个小区间对应一个小矩形条，然后把这个小矩形条（相当于规则的地砖）的面积和去替代曲边梯形的面积。
至于所有矩形条的面积和能不能代替曲边梯形的面积、以及代替的误差有多大，这有严谨的数学论证，咱就省略几千字了哈，数学教材可是等着你们去宠幸呢。
此处我们只关注能精确替代的情形，即把区间分割成无穷多份，使得无穷多个小矩形条的面积和存在一个确定不变的极限值，该极限值就是这个曲边梯形的面积，记作
这个表达式称为被积函数在区间的定积分，和分别称为定积分的下限和上限，是积分变量。
显然定积分 是一个数，只要函数的表达式和区间定了，这个数就定了。换句话说，你把积分变量写成还是亦或是都没关系。
这是肯定的撒，比如说函数是二次函数，无论写成还是写成，这不都是相同的抛物线么？它与坐标轴所围成的图形还能有差别？
如果现在咱要计算这条抛物线在的范围内与坐标轴所围成的图形面积，结果肯定是一样的嘛。所以有
为啥要啰嗦上面这么一段文字呢？还不是担心你对接下来的表述弄混淆了嘛。既然定积分 是一个确定的数，但如果让积分上限（用下限也行）在区间内任意取值，咱就可以一一对应地写出任意个定积分（请记住，它是一个数）。
看到这里，你是不是就想起了函数？变动的积分上限有与之一一对应的数！把这个函数起名为积分上限函数，记作。按照刚才描述的函数构造方法，则有 其中。
你看，我可是特意把积分变量换成了，就是为了让你看清楚积分上限函数的变量是积分上限而不是积分变量本身！拗口不？那就慢慢地多读几遍哈！
从如今“微积分”这个名称上就能看出微分与积分可是一对形影不离的好基友，想要发现它俩的基情，上面几段文字已经做好了铺垫。
我给你甩出积分上限函数可不是为了让你练习拗口令，而是这个函数有个及其重要的性质——积分上限函数的导数等于被积函数，即 等式成立的条件以及证明过程就请各位辛苦翻阅一下数学教材，很简单、很容易看懂！
这个性质一下子就把求导和定积分给紧密团结起来。求导或者求微分是对函数的一种运算，那么这种运算就有与之对应的逆运算，就好比加法有逆运算是减法，乘法有逆运算是除法。你猜求导的逆运算是什么呢？
如果一个函数满足 咱们就称函数是函数的原函数，这意味着求原函数就是求导运算的逆运算！刚好上面提到的积分上限函数就是被积函数的原函数，这下该知道的重要地位了吧？
对了，你还记得常数的导数为零的结论吗？要是咱给积分上限函数加上一个任意常数，你会发现啥？新的函数的导数也等于，即
所以新函数也是的原函数，这说明的原函数可以有无限多个。
严格的数学证明会告诉你，如果是的一个原函数，那么其他无限多个原函数只能是的形式。
也就是对于同一个被积函数来说，不同原函数之间只相差一个任意常数。
鉴于求原函数是求导的逆运算，而且原函数就长成的样子，这么重要的式子不得给它上个户口么？于是咱们将其命名为不定积分，记作 也就是说不定积分是一种运算，是微分运算的逆运算。请不要把它和定积分搞混了哈，人家定积分是一个数。
至于你问定积分该怎么算，积分上限函数笑而不语地向你招了招手。假设是被积函数的原函数，显然积分上限函数也是的同伙。刚才已经说过了，不同原函数之间只相差一个任意常数，所以有 发现没，只要令积分上限里的等于，咱们要的定积分不就现原形了吗？
不过还有一个小问题就是任意常数的取值。定积分 是一个确定的数，岂容你任意取值？若真如此，岂不是变成了薛定谔的定（小）积（猫）分（咪）？所以咱得把的值给求出来。
很简单，你先令积分上限里的等于，这不有 么？于是就有
再令积分上限里的等于，于是 即定积分 的值等于被积函数的原函数在积分上、下限处取值的差。
为了方便，咱们会给出一个新的记法：
完美收工！这便是大名鼎鼎的牛顿——莱布尼茨公式！是它把定积分的计算与求原函数进行了联姻，于是微分与积分的基情就开始了。
这篇文章是读懂后续物理内容的数学基础，我着重于把微积分的思想与概念给说清楚。因为在我看来，无论是数学还是物理，都不应该是从天而降地甩给你一个定义、概念或者公式，然后你就开始套用公式去各种计算，顺便还对各种奇技淫巧顶礼膜拜。这并不是掌握数学或者物理的好办法。
诚然，它们的价值确实需要通过具体应用才得以体现，你对定义、概念或者公式的掌握程度的确需要在应用中去加深，但是倘若你没有领悟其中的深刻思想与严密逻辑、倘若你不了解它们为什么会被人们提炼出来，你能保证很好地应用公式得到正确的结果吗？你能确保可以灵活驾驭那些令人叹为观止的技巧吗？你还会在大量枯燥的计算过后还对数学或者物理感兴趣吗？要知道人一旦对什么事物感兴趣了，其爆发的潜力不可估量啊！
我并不是绝对地排斥具体的计算，我只是强调武功需要内外兼修！想必你在课堂内外已经把计算技能和各种技巧打磨得炉火纯青了，所以我更偏向于把背后的逻辑线给你清晰完整地展现出来，这是我所有文章的写作风格。倘若这种写法对你的内功修为有所帮助，我辛苦码字也就值得啦！
下篇预告：什么是向量
