实际上的克莱因瓶是一个四维结构，但是我们没法展示出它的形状。我们看到的的克莱因瓶的图只是一个三维类似物，在三维中它不得不穿过瓶身。
上图是一个酒瓶，它有着我们常见的形状，有显而易见的内外两面。然而，有一种瓶子，它没有内外面。
上面这个就是没有内外面的瓶子，它的‘内面’和‘外面’是一面，它只有一面，它被称为克莱因瓶。
克莱因瓶，以德国数学家费利克斯·克莱因的名字命名。Felix Klein最著名的工作是非欧几里德几何，几何和群论之间的联系，以及函数理论。
克莱因瓶与莫比乌斯带非常相似，莫比乌斯带是一种独特的曲面。如果一个游客在莫比乌斯带上行走，那么他可以走到出发点的‘背面’，可以走到纸带的任何一点，而这个过程中并不需要翻越纸带边缘。而对于一张普通的纸带，你想要走到背面，就必须越过纸带的边缘。
Möbius带是最简单的单面，而且很容易用纸条做成。在纸的两面做记号——例如，在正面画一些红点，在背面画一些绿点。现在拿两条带子的两端，把它们粘在一起后，在带子上做一个单一的扭转，使红点的一边连接绿点的一边。这是一个Möbius带，沿着表面移动，我们将到达每个红点和绿点，而不会跨越边界。
1858年，德国天文学家、数学家奥古斯特·费迪南德发现了这个Möbius带。扭转0次、2次，或者偶次，都会得到一个双面纸带。同样，扭转奇数次就会产生各种单面。有趣的是，Möbius带的边界是一条单一的封闭曲线。
如果一个Möbius带是由一个橡胶板制成的，我们轻微地拉伸它而不打破它，它仍然是一个单面结构。与此相反，如果我们在没有首先扭转的情况下粘住纸带的两端，得到的圆柱形将会是拓扑上不同的双面圆柱体。
尽管Möbius带很简单，但它却是一个真正的数学发现。曲面的可定向性推理是理解和分类曲面和流形的关键之一。
拓扑学中的一个后续任务是去掉Möbius带的边界，以产生一个封闭曲面。最简单的方法是使用Möbius带，将所有边界点连续地拉在一起，就像我们可以将一个圆点拉成一个圆锥一样。无论我们是否将锥尖圆化，我们都能得到一个没有边界的封闭曲面，而且它是单面的，因为我们能到达Möbius带的任何地方。这个曲面称为射影平面，在拓扑上它是最简单的封闭单边曲面。不幸的是，射影平面的几何实现是相当复杂的。直到1903年，在David Hilbert(他当时的博士导师)的建议下，Werner Boy 发现了一个没有尖角或边缘的射影平面的几何实现。
与莫比乌斯带相比，克莱因瓶是没有边界的。
想象一根直管，能不能把它的首尾相接，内外相接。
下面这个动画很形象的给出了如何制作一个克莱因瓶
当然，实际上的克莱因瓶是一个四维结构，但是我们没法展示出它的形状。(关于四维，超立方体为什么展开是8个立方体？)
前面给出的克莱因瓶的图只是一个三维类似物，在三维中它不得不穿过瓶身。
从一张纸开始，把它卷起来形成一个圆柱体，然后把两端弯曲，使其闭合。圆筒一侧的内侧与另一侧的外侧连接。
我们没有像用一张纸做一个Möbius带时那样增加一个扭转，而是将一端绕回圆柱体，并将其粘到另一端，两个边界圆给出了相反的方向。为了达到这个目的，我们调整圆筒的厚度。这使得我们可以将内部粘到外部，并获得一个单面表面。在上图中，我们用白色和绿色来区分原来圆柱体的内外面。
