无穷小量是否为零？
作为一名一线大学数学老师，其实我被问到类似问题的次数是比较多的。
但突然发现这个问题是知乎中比较“远古”（2012年）的问题，还是弱弱地在这里留下一个小小的回答吧~~
就现在大学生的标准分析（你的高等数学/数学分析）教材而言，这是一个已经完全解决了的问题，那就是：
所谓无穷小量，就是极限为零的变量。
很多教材里面还会补充说明一下，在所有的常量中，零是唯一的无穷小量——当然考虑的时候，仍然要从极限为零这个角度出发。
那至于什么是极限的概念，甚至包括极限概念的演进史，微积分的严格化，我想在其他的回答中早已做了清晰的表述。
这里，我仅仅以大数学家欧拉为例，看看他是怎么处理“无穷小量”的，毕竟欧拉的名著《无穷小分析引论》被认为是数学（分析）史上的里程碑，是后续很多教材专著的模板。
通过书名，首先可以确认的是，欧拉认为无穷小量是微积分（数学分析）中最关键的研究对象，没有之一。
我在前面的一个回答：
中提到过历史上抨击微积分最激烈的代表人物，当属18世纪的贝克莱主教，他在1734年（欧拉时年27岁）在《致一个不信神的数学家》中对微积分的核心概念进行了犀利的抨击，称流数（基于无穷小的“神出鬼没”的运算）为“消失的量的幽灵”。
欧拉作为当时整个数学界的领军人物，不可能不知道这种批评，但他并没有被这种批评左右，也没有做过多地理会，而是将无穷小视为工具——所谓“务实的幽灵”，将微积分的应用推广到前所未有的高度、深度和广度。
欧拉认为，无穷小“本质上是零"——任何量都可以减少直到完全消失，因此他认为无穷小在数值上就是零。
然而，处理微积分问题时，他又将dx视为“形式上非零”的量进行运算——他解释说，与有限量（非零）相比，无穷小“消失为零”，因此可以忽略，而像是“dx²”这样的高阶无穷小，更是可以“随意丢弃”。
也就是说，欧拉本人作为一个解决数学/应用数学问题的顶级高手，他深知无穷小在数学分析体系中的关键作用，但并不关心无穷小量本身的哲学或逻辑困境，而是将无穷小作为一套高效、自洽的“计算工具”，无穷小在他的手里，“既是零，也不是零”，“有时是零，有时不是零”，是自然而然的事情，像是一套灵活的工具一样。
在这种实用主义观点之下，欧拉的很多论证肯定不符合现在的所谓严格标准。
因为现在确实有些人对无穷小量同样有这种似是而非的认识，他们确实可以学习一下欧拉对无穷小的认识，看看欧拉在一个逻辑上“粗糙”的体系框架下，如何能产生如此精彩而丰富的成果。
比如他在所谓不严谨的框架下，给出了我们现在仍在使用的“基本初等函数的求导公式”（含“不严谨”计算过程），以后肯定也会一直使用下去。
比如他在未给出收敛性的前提下，从形式主义出发推导出
,
以及更为经典的欧拉公式：
,
又如他从勾股定理出发（现在的弧微分）计算伯努利双纽线的弧长，还如他研究调和级数的“无穷小尾项”时得出著名的欧拉常数：
,
从现在的观点看，这些经典结果中他的推导过程都是不严谨的，但谁又能拒绝用他的名字冠名这些伟大的结论呢？？？
当然我们一定要强调，欧拉的粗糙只是相对于19世纪数学家的严格标准而言的，他绝非某些同学想象的那样，“天马行空一般地乱来”。
欧拉之所以可以做到，一直不严谨，一直都正确（当然也有一些经典的/夸张的错误这里不再提了），主要是依靠他“惊人的直觉”，“深刻的洞察”，“几乎不受约束的工具主义的实用心态”——一言以蔽之，无与伦比的天赋——他在59岁双目失明之后的17年间，仍然凭借超强的记忆力与心算能力，完成了400多篇学术论文和多部著作。
所以，虽然刚才我们说有些同学可能会认为自己对无穷小量的认识“和欧拉一样粗糙”，但我们不会认为你会像欧拉一样做出如此丰富的数学成果——
因为，如果你要做欧拉的计算，你就得自己是欧拉。
所以，还是建议你抛弃幻想，好好地在现行教材的体系中，认真地学习无穷小量的概念、性质，及其在高等数学/数学分析等课程中同样丰富而深刻的应用吧。
以上。
