我觉得教材都差不多。学问有很多股，年轻时候不抓紧时间多学，等你开始做研究就后悔莫及了。Riemann几何是所有几何的基础，因为即使是辛几何，任何一个compatible almost complex structure也会给你一个辛流形上的Riemann度量。但是这个度量往往不起实际作用，因为辛几何上所有能用compatible almost complex structure发展的理论都能用tame almost complex structure来做，而且后者有时候往往是必须的。Compatible almost complex structure的好处只是让Gromov compactness的证明简化一点点。
复几何看似是只要有复结构，但是如果没有一个好的度量，能研究的问题还是比较有限的。比如Griffiths & Harris在告诉你什么是Kahler流形之前并没有什么non-trivial的内容。示性类的几何理论也依赖于引入辅助性的Hermitian metric，而好的Hermitian metric则往往带来Chern class的简单表示，这导致一些Chern number inequality。Riemann几何很重要的概念就是connection，只有学习了Chern-Weil theory才能渐渐理解什么是connection。因为我是不喜欢算张量的，所以自然地就对整体的几何拓扑感兴趣，对不变量和代数结构感兴趣，但是张量计算也是Riemann几何里重要的一部分。所以如果要上课就得算那些讨厌的玩意儿。我当年读研究生的时候就是因为不喜欢算张量，所以直接选了Riemann几何II，就是讲Peter Li的讲义。其实后面的几何分析也没有很严重地依赖于张量计算，只要你会一些基本的公式就能理解了。用的更多的是maximum principle和基本不等式。Riemann几何上一些基本的计算主要有两套符号系统，用covariant derivative和向量场，或者用外微分和微分形式。
所谓的现代Riemann几何，其实很大程度上是研究special holonomy，也就是和。这种有special holonomy的Riemann流形其实是很少的，以至于90年代Joyce才首先构造了compact Riemannian manifold with special holonomy的例子。按照现在的趋势来看，这个领域里的问题还是很难做，但是许多辛几何上的理论在special holonomy情形都有类比，比如 manifold中的coassociative submanifold就是Calabi-Yau几何上special Lagrangian submanifold的类比。这是因为有special holonomy的Riemann流形也是所谓calibrated geometry的例子。Calibrated geometry是80年代Harvey-Lawson所发展，致力于用cohomological method来寻找minimal submanifold，后来随着理论物理的发展变得非常火爆，Joyce是目前这方面最杰出的专家。有了这些类比，就可以考虑是否能把一些辛几何上的结果搬到special holonomy情形。
Riemann曲面是复几何上最简单的例子。个人认为不要执著于复分析，要多学一些sheaf theory，因为它们对于处理高维情形也很有用。有些常用的sheaf，在Riemann曲面上就会遇到。虽然说这个话题已经过于古老，但还是有一些有趣的结果，最值得注意的莫过于Abel-Jacobi theory。比如所谓的Jacobi inversion theorem说，假如是genus 的algebraic curve，它的-fold symmetric product是，那么存在birational map
其中是Jacobian variety。我最近之所以重新想到这个结果是因为描述Riemann surface的symmetric product的Fukaya category在低维拓扑上是个重要的问题，而古老的Jacobian inversion theorem告诉我们这等价于描述上述birational map，因为Fukaya category在birational map下被认为是well-behaved，我之前也做过一些相关的工作。例如假如是genus 2 curve，那么是abelian surface在一点的blow up。像这种小结果，许多人都容易忽略，所以学好一些古典的结果对做研究也很有帮助。
实际上Riemann面在辛几何上也是常用的。比如考虑isolated singularity of two variables 。有个实用的算法可以描述它的Milnor fiber ，叫做A'Campo method。这时候是个open Riemann surface，而它上面的vanishing cycle的intersection已经可以非常复杂，从而给你一些有趣的quiver了。前几年Bridgeland-Smith在stability condition上的工作，也是relate了某些quiver algebra定义的triangulated category上的stability condition和古典的Teichmuller theory。
我觉得想要有目的地学东西，还是需要一些在数学上有经验的人来给你指明方向。但是我从小到大就没遇到过这样的人，都是浪费了不少时间自己摸索的。我来伦敦以前基本所有的数学都是自学的，然而其实数学也应该自学。所以我对上什么课一直没有迷信，主要还是你自己能学到什么。我看有些人抄笔记抄得很认真，水平却还是不怎么样。
