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顾名思义（感性认识），上/下确界，数列最小的上界或最大下界。而上/下极限，则是强调当时数列或者集合收敛子列的最大/最小的极限。
例1
数列, 展开为，数列限制在,因此大于等于1的数都是的上界，但是最小的上界为1，也即上确界为1；小于等于0的所有实数都是的下界，但是最大的下界是0，也即下确界为0。上下确界是为了确定整个数列所有元素的界限。
而上下极限也用来描述无穷状态下的情况，在这里所有无穷子列都收敛到0，因此上极限为0，下极限也为0.
例2
数列, 展开为，其基数列为, 其偶数列为, 观察下图
如上图所示，整个数列都限制在，所有大于等于1的实数都是的上界，但是最小的上界是1，也即上确界为1；所有小于等于-1的实数都是的下界，但是最大的下界是-1，也即下确界为-1.
当数列趋于无穷时，基数列收敛到-1，偶数列收敛到1。所有收敛子列极限中最大的极限为1，也即上极限为1；所有收敛子列极限中最小的极限为-1，也即下极限为-1，
上面的例子和描述只是从感性层面来讲的，下面顺带给出更加严格一点的定义
一维点集上确界定义：
考虑一维欧氏空间中的一个集合，若存在，使得对于，都有，则称是集合的一个上界。设，若数满足
就称是集合的上确界，记作或者
上确界是最小的上界
一维点集下确界定义：
考虑一维欧氏空间中的一个集合，若存在，使得对于，都有，则称是集合的一个下界。设，若数满足
就称是集合的下确界，记作或者
下确界是最大的下界
上确界和下确界判定的充要条件
的充要条件是：
这个充要条件讲的是在上确界附近任意小的区间内都能找到集合的元素（区间在上确界下面）。
的充要条件是：
这个充要条件讲的是在下确界附近任意小的区间内都能找到集合的元素（区间在下确界上面）。
简而言之：上确界是最小的上界，下确界是最大的下界，这个概念将用来定义上极限和下极限
对于中的点列，若定义,
在点列中截取第项到无穷项形成新的数列，而和 为这截取新的数列的上确界和下确界。当， 则对应了的上极限和下极限，下面就给出了更加严谨的定义了。
上极限定义
给定， 定义点列的上极限为：
【注释】：当截取点时，新数列 的上确界为的上极限，参考第一张图下极限定义给定， 定义点列的下极限为：
【注释】：当截取点时，新数列 的下确界为的下极限，参考第一张图
上极限判定的充要条件
设，则的充要条件是：
【说人话】：上极限是所有收敛子列极限的最大值下极限判定的充要条件
设，则的充要条件是：
【说人话】：下极限是所有收敛子列极限的最小值
简而言之：上极限是所有收敛子列极限的最大值，下极限是所有收敛子列极限中的最小值 再次参考第一张图~你就会有深刻的理解了
再贴上有关集合列的上确界和上极限的帖子
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再贴上自己实变函数（主要是Lebesgue积分）的notes吧,希望对大家有帮助.
http://pan.baidu.com/s/1kVJSHWN
参考文献
[1] 维基百科
[2] 夏道行, et al. 实变函数与泛函分析 (上册). Vol. 158. 北京: 高等教育出版社, 1985.
[3]郭懋正 , 实变函数与泛函分析. 北京: 北京大学出版社, 2005
