我用一个非常简单粗暴的“数值解”方法来解释一下为什么微分方程的解叫做“积分曲线”，其实从字面意思理解即可——微分方程的解，就是一条通过不断累积微分得到的曲线。另外通过这种方法也能够了解，为什么微分方程的解，实际上是一族曲线，而不是一条曲线，并理解为什么有所谓通解和特解。
以一个简单的一阶微分方程 为例，这个微分方程的意思是，我们给了一个平面上的点集一个特殊的函数映射，这个映射限制了x和y的对应关系——即任何一点（ )和它旁边的极近的点（ ）不是随便的关系，而是有变化率的限制： ，换句话讲，我们应该理解，微分方程的本意本来就是对每一点处变化率的大小做出了限制，只不过一阶微分方程限制了一阶导数的值，二阶微分方程限制了一阶导数和二阶导数的值。接下来看是怎么样通过变化率的限制得到一个曲线的：
如果我们从x=0处开始绘制这条曲线，那么在这一点y等于几呢？等于多少都可以，这个微分方程没有做出限制，这个方程只要求 ，所以我们任取一值，比如令y=1，但是一旦x=0时，y=1，事情就这样就被决定了，因为之后每一点的增量 ，这个铁则就要起作用了。
我们用暴力求数值的方法带入： 于是我们得到了(0,1)之后的第二个数对
再以 为基础，根据 计算 , ,于是我们得到了第三个数对 ，这个表达式像不像不断地累加微分？用这种方法不断累积下去，就是在不断的积累微分，这个过程写一个计算机程序是非常非常简单的：
...
把这些点绘制出来，我们可以得到一条“积分曲线”， 越小，用积累微分地方法绘制的这个曲线就越精确，越接近于“真正的”曲线。如下图：
这个积分曲线的形状，取决于微分方程对于变化率的限制和我们最初选定的x=0时，y=1。如果x=0时，y=2，我们就可以得到另一条积分曲线。这样选定任何一个起点坐标，都可以得到一条曲线，无穷无尽，所以微分方程的解是一族曲线簇，每一条独特的、用累加微分得到的曲线都是一个“特解”的积分曲线。而所谓通解，就是我们用数学方法把上面的过程精确表达罢了：
这就是为什么微分方程的解被称为“积分曲线”了，因为它就是被累加微分得到的。
再看一下二阶微分方程：首先需要理解的是，二阶导数到底是什么意思？ ,再次化简：
， ，或者换一种更明显的写法：
这就是说，一旦f''(x)与f'(x)、f（x）定了下来，那么f(x)左右两边的
