谈谈我对圆周率的理解。
在我的私人词典里，圆周率的正式名字叫做“角度/长度转换常数”。
几何学研究角度，几何学也研究长度。 有时要将关于角度的信息与关于长度的信息进行比较，此时作为“角度/长度转换常数”的圆周率大概就要出现了。
更进一步，由于对周期现象的描述可以自然地“角度化”（下文解释是什么意思），圆周率也现身于对周期现象的描述。
大家熟知的圆周率定义为圆的周长除以直径。 如果圆的半径是1（即所谓单位圆），则它的周长为两倍圆周率。
我们可以用单位圆上的点来标记平面上的方向。将圆心和单位圆上一点连线，形成圆心出发的一条射线，这就给出了一个方向。另一方面我们也可以用角度标记方向：固定住一条初始的过圆心的射线，之前说的那条射线与这条初始射线有一夹角。
两射线与单位圆有两个交点，交点间弧长就决定了上述夹角的角度，反之亦然。
总结一下，我们可以用角度标记方向，也可以用弧长标记方向（本质上是用单位圆上的点标记方向）。既然它们都标记方向，可见我们是在比较角度信息与长度信息。
这种比较就是弧度制的来源。 弧度制就是用单位圆上点的位置来标记角度。由于点绕单位圆周一圈走过的长度是两倍圆周率，弧度制干脆把旋转一周对应的角度变化定义为两倍圆周率。
三角函数也是用长度（比值）来刻画角度的，所以涉及圆周率不奇怪。如果用弧度制描述角度，正弦函数周期就是两倍圆周率。
很多人会指出，我们完全可以不用弧度制，而是用绕一圈等于三百六十度的通常角度制。比如三角函数就可以这么研究嘛，这时好像可以避开圆周率啊。 在初等数学范围中可能的确如此，但进入微积分时代你就逃不开圆周率了。正弦函数的变化率（导数）是余弦，但有这个结果的前提是自变量角度使用的是弧度制（从而避不掉圆周率），而不是（比如）三百六十度的角度制。如果要使用三百六十度的角度制，那你求正弦函数变化率的结果前面就会带上讨厌的因子（180分之圆周率）。你看你还是逃不开圆周率。仔细想一下也没啥奇怪的。变化率是一个比值的极限，该比值的分子是涉及长度（比值）的变化量（两正弦值相减），而分母是角度的变化量。所以你还是在比较长度信息和角度信息嘛。
接下来我们看看对周期现象的研究为什么离不开圆周率？这是因为我们用傅里叶分析。一个周期函数可以展开为傅里叶级数的求和，而傅里叶级数就是正弦余弦的级数。因此你自然需要比较正余弦的周期与你的周期函数的周期，也就是说你一定逃不开圆周率与你研究的周期的比值。这是傅里叶分析中圆周率的来源。
这里面其实也隐藏着我们的老朋友：圆。原因在于：一个有最小周期的函数可以理解为一个圆上的函数。怎么做呢？你把有最小周期长度的区间的左右端点首尾相接，这就得到一个圆了。由于函数是周期性的，该区间的右端点与左端点函数值相等，故而你的函数归根到底可以视为定义在这个圆上的函数。这其实就是之前所谓的“周期现象描述的角度化”：你总是可以将一个周期中的区间上的点理解为圆上的点从而理解为角度。你看，你又在转换长度信息（区间上的点可以用到一个端点的距离标记）为角度信息了。圆周率自然找上门来。
综上所述，将圆周率视为两个长度的比值（圆周长与直径比值）没有错，但往往不得要领。将其视为“角度/长度转换常数”通常更符合其真实身份，而且哪怕所谓“圆周长与直径比值”这一理解也可以用“角度/长度转换常数”诠释：两倍圆周率，是单位圆上的点在角度转一圈的过程中走过的长度。如果你觉得“角度/长度转换常数”这个名字太冗长，我推荐我的私人词典里的另一个（颇有中国风的）名字：尺角常。“尺”为尺度（长度）之意，“角”为角度之意。
