本来觉得没太多意思的一个问题，结果看到点赞最高的回答直接搬运了一些数竞平几模块比较基础的定理，还跟中线都沾不上边。大概是对于初中课内来说那些定理可能显得“高大上”吧。还有就是平几中定理和结论太多了，困难的在于在具体的问题中识别出这一结构然后熟练运用。
中线定义：中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段。
由中线定义，很容易得出中线将三角形面积平分。那么对于一条线段来说，我们最关心的无非就是这条线段的长度，于是我们有：
中线长公式：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍。
实际上，这是斯特瓦尔特定理的一个特殊情况。
斯特瓦尔特定理：如下图所示，点 在边 上，则有
这只是一条中线的性质，显然三角形有三条中线，那么我们来研究这三条中线。
三角形三条中线性质1：三条中线长的平方和等于三边长度平方和的 。
三角形三条中线性质2：三条中线围成的三角形面积是原三角形面积的。
这两条性质证明起来比较简单，这里略去证明。那么我们还能得到如下有趣的结论：
三角形三条中线性质3：点 关于点 的对称点为 ，类似定义 ，则有 。
这也是显然的。
接下来，我们会发现这三角中线交于一点，该点即为重心。
重心定义：三角形三条中线的交点为重心。
重心的性质异常丰富，并且与三角形其它特殊点搭配起来又有许多丰富的性质，这里就只列举一些简单的性质。至于三角中线为何会共点，请自行百度塞瓦定理。
重心性质1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 。
这是一条非常重要的性质，由这条性质，我们有以下直接推论：
推论1：在平面直角坐标系中，设 三顶点坐标为 ，则该三角形重心坐标为 。
推论2：若 为三角形重心，则有 也即 。
重心性质2：在三角形中，过重心 的直线交 所在直线分别于 ，则 。
重心性质3（三角形的拉格朗日定理）： 为 重心， 为平面内一点，则有 。
证明思路：取 中点 ，对 用中线长定理即得。
重心性质4：重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
证明思路：设出 三边长和三角形内一点 到三角形三边距离，然后表示出由点 个三个顶点构成的三个三角形面积，使用均值不等式即可得当 为重心时取等。
重心性质5：重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
证明思路：建系。
当然，既然我们给出了三角形的三条中线，那么除了数量关系以外，我们还会关心其位置关系，则有：
定理1：在 中，有两条中线 和重心 ，则 的充要条件是 。
最后我们稍微拓展一下。
那么除了中线以外，三角形还有没有哪条特殊的线值得研究，且与中线有关呢？答案显然是有的。
陪位中线定义：三角形一条中线对于其对应的顶点的等角线即位陪位中线。
所谓等角线，简单理解就是把中线关于这个点的角平分线作对称。
陪位中线同样也有着丰富的性质：
陪位中线性质1：已知 与陪位中线 ，则 。
陪位中线性质2：的陪位中线与过 的三角形外接圆的切线三线共点。
当然，陪位中线是构成调和四边形的重要途径之一，但我们这里略去相关的内容。
那么，既然三条重心共点于重心，那么三条陪位中线是否共点呢？答案是肯定的：
陪位重心：三角形三条陪位中线的交点即为陪位重心。
陪位重心有时也称为类似重心。很显然，陪位重心是重心的等角共轭点（定义请自行百度）。
陪位重心性质1：三角形的陪位重心到三边距离的平方和达到最小值。
三角形的第一莱莫恩（Lemoine）圆：过三角形陪位重心作三边的平行线与各边相交的六个交点共圆，该圆称为三角形的第一莱莫恩圆。
三角形的第二莱莫恩圆：过三角形陪位重心作各边的逆平行线与各边相交的六个交点共圆，该圆称为三角形的第二莱莫恩圆。
