焦点三角形是有心二次曲线（椭圆和双曲线）的重要性质，是高考的高频考点，对深刻理解圆锥曲线的定义有重要意义。焦点三角形在模考中更是层出不穷，但凡涉及到椭圆或双曲线的定义，焦点三角形是无法回避的考点。焦点三角形囊括了定义、余弦定理以及三角形的面积公式，具有综合性强，内涵丰富，思维灵活等特点，是命题者青睐的素材。
所谓焦点三角形，即是有心二次曲线上任意一点 （异于长轴的端点 ）与两焦点 所构成的三角形。下面以椭圆为例进行说明，双曲线同理。如下图1， 即为椭圆的焦点三角形。
1、面积公式
设椭圆的焦点三角形 的顶角 ，则面积 。
2、推导过程
推导需要三个东西：一是椭圆的定义；二是余弦定理；三是三角形的面积公式。推导如下：
设 ，由椭圆的定义得 。
又 ，在 中，由余弦定理得
。
于是 ，故 焦点三角形的面积
。
针对上述公式，下面以一个例题来具体说明：
【例题】
设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上的一点，当 的面积为1时， 的值为（ ）
【答案】A
【解析】
【法1】
由题意得 ，则 。
由对称性，不妨设 在第一象限，则 。
于是 的面积 ，解得 。
代入椭圆方程得 ，即 。
，选A。
【法2】
设 ，
则由椭圆的定义得 (1)。
又 ，由余弦定理得 (2)。
的面积 （3）。
联立（1）（2）（3）得 ，代入 得 或 （舍去）。
当 时， ，故 ，选A。
【法3】
由焦点三角形的面积公式得 ，解得 。
于是 ，故 ，选A。
法1，坐标法，通过坐标建立平面向量的运算，得到数量积为0。法2，解三角形，这便是焦点三角形面积的推导方法，在大题中便可如法炮制。法3，即是焦点三角形的面积公式，显然法3可以秒杀。不过值得说明的是，这个公式在解答题中不能直接使用，需要推导。而推导的过程就是法2。
那么以上的各种套路掌握得怎么样了呢？下面的变式不妨一试。
【变式】
设 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，若 是一个直角三角形的三个顶点，且 ，求 的值。
【答案】 或
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